Tableau récapitulatif : limite d'un quotient de suites

Propriété

Soit `(u_n)` et `(v_n)` deux suites telles que la suite  `(v_n)` ne s'annule pas.
On s'intéresse à la limite de la suite  `(u_n/v_n)` .
FI signifie Forme Indéterminée.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R},\ \ell\neq 0 & \ell \in \mathbb{R} & \pm \infty & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty} \\\hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R},\ \ell_2\neq 0 & 0 & \pm \infty & \ell \in \mathbb{R} & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty}\\\hline & & & & & &\\ \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{u_n}{v_n}} & \displaystyle\frac{\ell_1}{\ell_2} & \pm \infty \text{(règle des signes)} & 0 & \pm \infty \text{(règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ & & & & & &\\ \hline\end{array}\)

Remarques

1. À nouveau, on constate des cas d'indétermination. Rappelons que cela ne signifie pas qu'il n'existe pas de limite pour la suite `(u_n/v_n)` , mais juste que l'on ne peut pas conclure par un calcul direct.  En effet,

• \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty\)  et \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}n^5=+\infty\)  
  or \(\displaystyle\frac{n^2}{n^5}=\displaystyle\frac{1}{n^3}\)  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{n^2}{n^5}=0\) .
  Dans ce cas, la suite quotient a pour limite `0` .
•   \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^7=+\infty\)  et \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\infty\) .
  or \(\displaystyle\frac{n^7}{n^3}=n^4\)  donc \(​​\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{n^7}{n^3}=+\infty\) .
  Dans ce cas, la suite quotient a pour limite `+\infty` .

2 . Les résultats de la colonne 3, et de la colonne 5 dans le cas où  \(\ell =0\) , sont conditionnés par le fait que la suite  `(v_n)`  soit de signe constant à partir d'un certain rang.